(1). « Comme le sous-entendait Poincaré, le calcul opérant sur les nombres entiers est un modèle de rigueur, d’où l’idée de s’appuyer sur lui pour construire des mathématiques rigoureuses. ... Vers 1870, l’Allemand Richard Dedekind définit les nombres irrationnels comme des partitions de l’ensemble des nombres rationnels (qui s’écrivent sous la forme p/q, où p et q sont des entiers) en deux classes ; c’est sa définition, abstraite mais précise, qui a permis pour la première fois de justifier l’application des opérations arithmétiques aux irrationnels. »
(2) Nous relevons un autre extrait de l'article, p. 11-12. « Comme l’écrit Poincaré dans La valeur de la science : « La rigueur ne pourrait s’introduire dans les raisonnements si on ne la faisait entrer d’abord dans les définitions. » La définition de la continuité de Bolzano ou de Weierstrass ne fait pas appel aux notions d’infiniment petit ou de quantité évanouissante, introduites au XVIIe siècle par Leibniz et Newton, les inventeurs du calcul infinitésimal. Ces notions avaient été vite critiquées, non seulement parce qu’elles ne sont pas définies avec précision, mais aussi parce que le calcul qui leur est associé ne suit pas tout à fait les règles du calcul algébrique. Par exemple, si l’on considère deux quantités x et y augmentées de quantités infiniment petites dx et dy, leur produit xy est augmenté de d(xy) = x dy + y dx. Pour obtenir ce résultat, on commence par un calcul ordinaire : d(xy) = (x + dx) (y + dy) – xy = xy + y dx + dx dy. Mais il faut ensuite éliminer le terme dx dy (un infiniment petit d’ordre supérieur, par rapport à dxy), ce que le calcul ordinaire n’autorise pas. Leibniz finira par demander aux mathématiciens de considérer les infiniment petits comme des « fictions utiles ». Cela a satisfait nombre de mathématiciens du XVIIIe siècle, puis a été remis en question jusqu’à complète disparition de ces « fictions ». Pour les critiques, le manque de rigueur résidait cette fois dans le calcul. [... p. 13. Poincaré] reprend des définitions, telle celle de Weierstrass pour la continuité d’une fonction, dont il a dit qu’elles sont rigoureuses et qu’elles permettent d’éviter des difficultés mathématiques. Mais cette fois, il explique qu’il est exclu de les enseigner de prime abord. Il écrit de la continuité : « Ce n’est d’abord qu’une image sensible, un tracé à la craie sur un tableau noir. Peu à peu elle s’épure ; on s’en sert pour construire un système compliqué d’inégalités […]. Et pourtant, si le professeur ne rappelait l’image primitive, comment l’élève devinerait-il par quel caprice toutes ces inégalités se sont échafaudées de cette façon les unes sur les autres ? » »